Uma gravação em uma ponte mudou a forma como os matemáticos representam informações, utilizando números complexos e geometria esférica para descrever rotações em espaços bidimensionais e quadridimensionais.
Em 16 de outubro de 1843, o matemático irlandês William Rowan Hamilton (1805-1865) teve uma epifania durante uma caminhada ao longo do Royal Canal de Dublin, na Irlanda. Ele estava tão absorvido em seus pensamentos sobre a matemática que não percebeu o tempo passando. Sua mente estava focada em encontrar soluções para problemas complexos, e foi então que ele teve a ideia que mudaria tudo.
Hamilton estava trabalhando em uma teoria que combinava a álgebra e a geometria, e sua epifania foi o resultado de anos de estudo e dedicação. Ele ficou tão empolgado com sua descoberta que pegou seu canivete e gravou sua fórmula na Broome Bridge, um gesto que simbolizava a importância de sua descoberta. A matemática havia se tornado uma paixão que o consumia, e ele estava determinado a compartilhar sua descoberta com o mundo. A partir daquele momento, sua vida mudou para sempre.
A Revelação Matemática de Hamilton
A famosa equação i² = j² = k² = ijk = –1 pode parecer simples, mas sua revelação mudou a forma como os matemáticos representam informações. Essa descoberta de Hamilton simplificou inúmeras aplicações técnicas, desde o cálculo de forças em pontes e máquinas de ressonância magnética até a programação de mecanismos de busca e a orientação de veículos espaciais em Marte. Mas o que significa essa equação?
A matemática por trás da rotação de objetos em 3D foi o problema que Hamilton estava tentando resolver. A direção é fundamental na descrição de forças e velocidades, e Hamilton também estava interessado em rotações em 3D. Embora os matemáticos já soubessem como representar a posição de um objeto com coordenadas x, y e z, descobrir o que acontecia com essas coordenadas quando você girava o objeto exigia uma geometria esférica complicada. Hamilton queria um método mais simples.
Ele foi inspirado por uma maneira notável de representar rotações bidimensionais usando números complexos, que têm uma parte real e uma parte imaginária. A parte imaginária é um múltiplo do número i, definido pela equação i² = -1. No início do século XIX, vários matemáticos, incluindo Jean Argand e John Warren, descobriram que um número complexo pode ser representado por um ponto em um plano complexo. Warren também demonstrou que era simples girar uma linha em 90° nesse plano complexo.
Hamilton ficou impressionado com essa conexão entre números complexos e geometria, e começou a tentar fazer isso em três dimensões. Ele imaginou um plano complexo com um segundo eixo imaginário na direção de um segundo número imaginário j, perpendicular aos outros dois eixos. No entanto, foram necessários muitos meses árduos para que ele percebesse que precisaria de números complexos quadridimensionais, com um terceiro número imaginário, k, para estender a magia rotacional 2D da multiplicação por i.
Quaterniões e Vetores
Nesse espaço matemático 4D, o eixo k seria perpendicular aos outros três. Além de k ser definido por k² = -1, sua definição também precisava de k = ij = -ji. (A combinação dessas duas equações para k resulta em ijk = -1). Juntando tudo isso, obtém-se i² = j² = k² = ijk = -1, a revelação que atingiu Hamilton como um raio na Ponte Broome.
Hamilton chamou seus números 4D de quaterniões e os usou para calcular rotações geométricas no espaço 3D. Esse é o tipo de rotação usado atualmente para mover um robô ou orientar um satélite. Mas a maior parte da magia prática surge quando se considera apenas a parte imaginária de um quaternião. Isso é o que Hamilton chamou de vetores, que são fundamentais na álgebra e na geometria.
A matemática de Hamilton também tem aplicações em outras áreas, como o cálculo e a física. A teoria dos quaterniões é usada para descrever a rotação de objetos em 3D e é fundamental na compreensão da física de partículas. Além disso, a matemática de Hamilton também tem aplicações em áreas como a robótica e a computação gráfica.
Em resumo, a revelação de Hamilton mudou a forma como os matemáticos representam informações e simplificou inúmeras aplicações técnicas. A teoria dos quaterniões é fundamental na compreensão da rotação de objetos em 3D e tem aplicações em áreas como a física, a robótica e a computação gráfica.
Fonte: © G1 – Globo Mundo
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